МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Комитет по образованию Санкт-Петербурга
Администрация Фрунзенского района Санкт-Петербурга
ГБОУ СОШ №322
РАССМОТРЕНО
СОГЛАСОВАНО
МО
учителей Заместитель директора по
математики
УВР
УТВЕРЖДЕНО
Директор ГБОУ средняя
школа №322
ДОКУМЕНТ ПОДПИСАН
ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДПИСЬЮ
_______________
________________________ ________________________
О.В. Цветкова
Гамбург С.Э.
Е.Н.Лебедева
Протокол №1
Протокол №1
Приказ №194 ОД
Сертификат: 00C858F3060A812E00B71997674C1287AD
Владелец: Лебедева Елена Николаевна
Действителен: с 24.04.2023 до 17.07.2024
от «31» августа от «31» августа 2023 г.
2023 г.
от «31» августа 2023 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(ID 494001)
учебного предмета «Алгебра и начала математического анализа.
Углубленный уровень»
для обучающихся 10 – 11 классов
Санкт-Петербург 2023
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Учебный курс «Алгебра и начала математического анализа» является
одним из наиболее значимых в программе среднего общего образования,
поскольку, с одной стороны, он обеспечивает инструментальную базу для
изучения всех естественно-научных курсов, а с другой стороны, формирует
логическое и абстрактное мышление обучающихся на уровне, необходимом
для освоения информатики, обществознания, истории, словесности и других
дисциплин. В рамках данного учебного курса обучающиеся овладевают
универсальным языком современной науки, которая формулирует свои
достижения в математической форме.
Учебный курс алгебры и начал математического анализа закладывает
основу для успешного овладения законами физики, химии, биологии,
понимания основных тенденций развития экономики и общественной жизни,
позволяет ориентироваться в современных цифровых и компьютерных
технологиях, уверенно использовать их для дальнейшего образования и в
повседневной жизни. В то же время овладение абстрактными и логически
строгими конструкциями алгебры и математического анализа развивает
умение находить закономерности, обосновывать истинность, доказывать
утверждения с помощью индукции и рассуждать дедуктивно, использовать
обобщение и конкретизацию, абстрагирование и аналогию, формирует
креативное и критическое мышление.
В ходе изучения учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» обучающиеся получают новый опыт решения прикладных задач,
самостоятельного построения математических моделей реальных ситуаций,
интерпретации
полученных
решений,
знакомятся
с
примерами
математических закономерностей в природе, науке и искусстве, с
выдающимися математическими открытиями и их авторами.
Учебный курс обладает значительным воспитательным потенциалом,
который реализуется как через учебный материал, способствующий
формированию научного мировоззрения, так и через специфику учебной
деятельности, требующей продолжительной концентрации внимания,
самостоятельности, аккуратности и ответственности за полученный
результат.
В основе методики обучения алгебре и началам математического
анализа лежит деятельностный принцип обучения.
В структуре учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» выделены следующие содержательно-методические линии: «Числа
и вычисления», «Функции и графики», «Уравнения и неравенства», «Начала
математического анализа», «Множества и логика». Все основные
содержательно-методические линии изучаются на протяжении двух лет
обучения на уровне среднего общего образования, естественно дополняя
друг друга и постепенно насыщаясь новыми темами и разделами. Данный
учебный курс является интегративным, поскольку объединяет в себе
содержание нескольких математических дисциплин, таких как алгебра,
тригонометрия, математический анализ, теория множеств, математическая
логика и другие. По мере того как обучающиеся овладевают всё более
широким математическим аппаратом, у них последовательно формируется и
совершенствуется умение строить математическую модель реальной
ситуации, применять знания, полученные при изучении учебного курса, для
решения самостоятельно сформулированной математической задачи, а затем
интерпретировать свой ответ.
Содержательно-методическая линия «Числа и вычисления» завершает
формирование навыков использования действительных чисел, которое было
начато на уровне основного общего образования. На уровне среднего общего
образования особое внимание уделяется формированию навыков
рациональных вычислений, включающих в себя использование различных
форм записи числа, умение делать прикидку, выполнять приближённые
вычисления, оценивать числовые выражения, работать с математическими
константами. Знакомые обучающимся множества натуральных, целых,
рациональных и действительных чисел дополняются множеством
комплексных чисел. В каждом из этих множеств рассматриваются
свойственные ему специфические задачи и операции: деление нацело,
оперирование остатками на множестве целых чисел, особые свойства
рациональных и иррациональных чисел, арифметические операции, а также
извлечение корня натуральной степени на множестве комплексных чисел.
Благодаря последовательному расширению круга используемых чисел и
знакомству с возможностями их применения для решения различных задач
формируется представление о единстве математики как науки и её роли в
построении моделей реального мира, широко используются обобщение и
конкретизация.
Линия «Уравнения и неравенства» реализуется на протяжении всего
обучения на уровне среднего общего образования, поскольку в каждом
разделе Программы предусмотрено решение соответствующих задач. В
результате обучающиеся овладевают различными методами решения
рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и
тригонометрических уравнений, неравенств и систем, а также задач,
содержащих параметры. Полученные умения широко используются при
исследовании функций с помощью производной, при решении прикладных
задач и задач на нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Данная содержательная линия включает в себя также формирование умений
выполнять расчёты по формулам, преобразования рациональных,
иррациональных и тригонометрических выражений, а также выражений,
содержащих степени и логарифмы. Благодаря изучению алгебраического
материала происходит дальнейшее развитие алгоритмического и
абстрактного мышления обучающихся, формируются навыки дедуктивных
рассуждений,
работы
с
символьными
формами,
представления
закономерностей и зависимостей в виде равенств и неравенств. Алгебра
предлагает эффективные инструменты для решения практических и
естественно-научных задач, наглядно демонстрирует свои возможности как
языка науки.
Содержательно-методическая линия «Функции и графики» тесно
переплетается с другими линиями учебного курса, поскольку в каком-то
смысле задаёт последовательность изучения материала. Изучение степенной,
показательной, логарифмической и тригонометрических функций, их свойств
и графиков, использование функций для решения задач из других учебных
предметов и реальной жизни тесно связано как с математическим анализом,
так и с решением уравнений и неравенств. При этом большое внимание
уделяется формированию умения выражать формулами зависимости между
различными величинами, исследовать полученные функции, строить их
графики. Материал этой содержательной линии нацелен на развитие умений
и навыков, позволяющих выражать зависимости между величинами в
различной форме: аналитической, графической и словесной. Его изучение
способствует развитию алгоритмического мышления, способности к
обобщению и конкретизации, использованию аналогий.
Содержательная линия «Начала математического анализа» позволяет
существенно расширить круг как математических, так и прикладных задач,
доступных обучающимся, так как у них появляется возможность строить
графики сложных функций, определять их наибольшие и наименьшие
значения, вычислять площади фигур и объёмы тел, находить скорости и
ускорения процессов. Данная содержательная линия открывает новые
возможности построения математических моделей реальных ситуаций,
позволяет находить наилучшее решение в прикладных, в том числе
социально-экономических, задачах. Знакомство с основами математического
анализа способствует развитию абстрактного, формально-логического и
креативного мышления, формированию умений распознавать проявления
законов математики в науке, технике и искусстве. Обучающиеся узнают о
выдающихся результатах, полученных в ходе развития математики как
науки, и об их авторах.
Содержательно-методическая линия «Множества и логика» включает в
себя элементы теории множеств и математической логики. Теоретикомножественные представления пронизывают весь курс школьной математики
и предлагают наиболее универсальный язык, объединяющий все разделы
математики и её приложений, они связывают разные математические
дисциплины и их приложения в единое целое. Поэтому важно дать
возможность обучающемуся понимать теоретико-множественный язык
современной математики и использовать его для выражения своих мыслей.
Другим важным признаком математики как науки следует признать
свойственную ей строгость обоснований и следование определённым
правилам
построения
доказательств.
Знакомство
с
элементами
математической логики способствует развитию логического мышления
обучающихся, позволяет им строить свои рассуждения на основе логических
правил, формирует навыки критического мышления.
В учебном курсе «Алгебра и начала математического анализа»
присутствуют основы математического моделирования, которые призваны
способствовать формированию навыков построения моделей реальных
ситуаций, исследования этих моделей с помощью аппарата алгебры и
математического анализа, интерпретации полученных результатов. Такие
задания вплетены в каждый из разделов программы, поскольку весь материал
учебного курса широко используется для решения прикладных задач. При
решении реальных практических задач обучающиеся развивают
наблюдательность, умение находить закономерности, абстрагироваться,
использовать аналогию, обобщать и конкретизировать проблему.
Деятельность по формированию навыков решения прикладных задач
организуется в процессе изучения всех тем учебного курса «Алгебра и начала
математического анализа».
На изучение учебного курса «Алгебра и начала математического
анализа» отводится 272 часа: в 10 классе – 136 часов (4 часа в неделю), в 11
классе – 136 часов (4 часа в неделю).
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Числа и вычисления
Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты,
бесконечные периодические дроби. Применение дробей и процентов для
решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
Действительные числа. Рациональные и иррациональные числа.
Арифметические операции с действительными числами. Модуль
действительного числа и его свойства. Приближённые вычисления, правила
округления, прикидка и оценка результата вычислений.
Степень с целым показателем. Бином Ньютона. Использование
подходящей формы записи действительных чисел для решения практических
задач и представления данных.
Арифметический корень натуральной степени и его свойства.
Степень с рациональным показателем и её свойства, степень с
действительным показателем.
Логарифм числа. Свойства логарифма. Десятичные и натуральные
логарифмы.
Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента. Арксинус,
арккосинус и арктангенс числового аргумента.
Уравнения и неравенства
Тождества и тождественные преобразования. Уравнение, корень
уравнения. Равносильные уравнения и уравнения-следствия. Неравенство,
решение неравенства.
Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и
неравенств. Многочлены от одной переменной. Деление многочлена на
многочлен с остатком. Теорема Безу. Многочлены с целыми
коэффициентами. Теорема Виета.
Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни.
Иррациональные
уравнения.
Основные
методы
решения
иррациональных уравнений.
Показательные уравнения. Основные методы решения показательных
уравнений.
Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
Логарифмические
уравнения.
Основные
методы
решения
логарифмических уравнений.
Основные
тригонометрические
формулы.
Преобразование
тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений.
Решение систем линейных уравнений. Матрица системы линейных
уравнений. Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и
свойства, вычисление его значения, применение определителя для решения
системы линейных уравнений. Решение прикладных задач с помощью
системы линейных уравнений. Исследование построенной модели с
помощью матриц и определителей.
Построение математических моделей реальной ситуации с помощью
уравнений и неравенств. Применение уравнений и неравенств к решению
математических задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни.
Функции и графики
Функция, способы задания функции. Взаимно обратные функции.
Композиция функций. График функции. Элементарные преобразования
графиков функций.
Область определения и множество значений функции. Нули функции.
Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные функции. Периодические
функции. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции. Элементарное
исследование и построение их графиков.
Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и
график. Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной
степени с натуральным показателем.
Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
Использование графиков функций для решения уравнений.
Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических
функций числового аргумента.
Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях.
Графики реальных зависимостей.
Начала математического анализа
Последовательности, способы задания последовательностей. Метод
математической
индукции.
Монотонные
и
ограниченные
последовательности. История возникновения математического анализа как
анализа бесконечно малых.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Линейный и экспоненциальный рост. Число е. Формула сложных
процентов. Использование прогрессии для решения реальных задач
прикладного характера.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва. Асимптоты
графиков функций. Свойства функций непрерывных на отрезке. Метод
интервалов для решения неравенств. Применение свойств непрерывных
функций для решения задач.
Первая и вторая производные функции. Определение, геометрический и
физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
Производные
элементарных
функций.
Производная
суммы,
произведения, частного и композиции функций.
Множества и логика
Множество, операции над множествами и их свойства. Диаграммы
Эйлера–Венна. Применение теоретико-множественного аппарата для
описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других
учебных предметов.
Определение, теорема, свойство математического объекта, следствие,
доказательство, равносильные уравнения.
11 КЛАСС
Числа и вычисления
Натуральные и целые числа. Применение признаков делимости целых
чисел, наибольший общий делитель (далее – НОД) и наименьшее общее
кратное (далее – НОК), остатков по модулю, алгоритма Евклида для решения
задач в целых числах.
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы
записи комплексного числа. Арифметические операции с комплексными
числами. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.
Формула Муавра. Корни n-ой степени из комплексного числа. Применение
комплексных чисел для решения физических и геометрических задач.
Уравнения и неравенства
Система и совокупность уравнений и неравенств. Равносильные
системы и системы-следствия. Равносильные неравенства.
Отбор
корней
тригонометрических
уравнений
с
помощью
тригонометрической окружности. Решение тригонометрических неравенств.
Основные методы решения показательных и логарифмических
неравенств.
Основные методы решения иррациональных неравенств.
Основные методы решения систем и совокупностей рациональных,
иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
Уравнения, неравенства и системы с параметрами.
Применение уравнений, систем и неравенств к решению
математических задач и задач из различных областей науки и реальной
жизни, интерпретация полученных результатов.
Функции и графики
График композиции функций. Геометрические образы уравнений и
неравенств на координатной плоскости.
Тригонометрические функции, их свойства и графики.
Графические методы решения уравнений и неравенств. Графические
методы решения задач с параметрами.
Использование графиков функций для исследования процессов и
зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных
предметов и реальной жизни.
Начала математического анализа
Применение производной к исследованию функций на монотонность и
экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на отрезке.
Применение производной для нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах, для определения скорости и ускорения процесса,
заданного формулой или графиком.
Первообразная, основное свойство первообразных. Первообразные
элементарных функций. Правила нахождения первообразных.
Интеграл.
Геометрический
смысл
интеграла.
Вычисление
определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.
Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур и
объёмов геометрических тел.
Примеры решений дифференциальных уравнений. Математическое
моделирование реальных процессов с помощью дифференциальных
уравнений.
ПЛАНИРУЕМЫЕ
«АЛГЕБРА
И
(УГЛУБЛЕННЫЙ
ОБРАЗОВАНИЯ
РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА
НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА»
УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданского воспитания:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и
ответственного
члена
российского
общества,
представление
о
математических основах функционирования различных структур, явлений,
процедур гражданского общества (выборы, опросы и другое), умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их
функциями и назначением;
2) патриотического воспитания:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к
прошлому и настоящему российской математики, ценностное отношение к
достижениям российских математиков и российской математической школы,
использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственного воспитания:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность
нравственного сознания, этического поведения, связанного с практическим
применением достижений науки и деятельностью учёного, осознание
личного вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетического воспитания:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических
закономерностей, объектов, задач, решений, рассуждений, восприимчивость
к математическим аспектам различных видов искусства;
5) физического воспитания:
сформированность умения применять математические знания в
интересах здорового и безопасного образа жизни, ответственное отношение к
своему здоровью (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и
отдыха, регулярная физическая активность), физическое совершенствование
при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудового воспитания:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к
различным сферам профессиональной деятельности, связанным с
математикой и её приложениями, умение совершать осознанный выбор
будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы,
готовность и способность к математическому образованию и
самообразованию на протяжении всей жизни, готовность к активному
участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологического воспитания:
сформированность экологической культуры, понимание влияния
социально-экономических процессов на состояние природной и социальной
среды, осознание глобального характера экологических проблем, ориентация
на применение математических знаний для решения задач в области
окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных
последствий для окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному
уровню развития науки и общественной практики, понимание
математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её
развития и значимости для развития цивилизации, овладение языком
математики и математической культурой как средством познания мира,
готовность осуществлять проектную и исследовательскую деятельность
индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических
объектов, понятий, отношений между понятиями, формулировать
определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать,
формулировать
и
преобразовывать
суждения:
утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия
в фактах, данных, наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и
индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений
(прямые и от противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры, обосновывать собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько
вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом
самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания,
формулировать
вопросы,
фиксирующие
противоречие,
проблему,
устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать
свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование
по установлению особенностей математического объекта, явления, процесса,
выявлению зависимостей между объектами, явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность
полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать
предположения о его развитии в новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на
вопрос и для решения задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать,
систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и
форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах,
иллюстрировать графически;
оценивать
надёжность
информации
по
самостоятельно
сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения, ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в
устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта, самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач
презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с
учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать
и корректировать варианты решений с учётом новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания
совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов, владеть
способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств, данных,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины
достижения или недостижения результатов деятельности, находить ошибку,
давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных задач, принимать цель совместной
деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять
виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы,
обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений,
«мозговые штурмы» и иные), выполнять свою часть работы и
координировать свои действия с другими членами команды, оценивать
качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным
участниками взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу обучения в 10 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты по отдельным темам рабочей программы учебного
курса «Алгебра и начала математического анализа»:
Числа и вычисления:
свободно оперировать понятиями: рациональное число, бесконечная
периодическая дробь, проценты, иррациональное число, множества
рациональных и действительных чисел, модуль действительного числа;
применять дроби и проценты для решения прикладных задач из
различных отраслей знаний и реальной жизни;
применять приближённые вычисления, правила округления, прикидку и
оценку результата вычислений;
свободно оперировать понятием: степень с целым показателем,
использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения
практических задач и представления данных;
свободно оперировать понятием: арифметический корень натуральной
степени;
свободно оперировать понятием: степень с рациональным показателем;
свободно оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и
натуральные логарифмы;
свободно оперировать понятиями: синус, косинус, тангенс, котангенс
числового аргумента;
оперировать понятиями: арксинус, арккосинус и арктангенс числового
аргумента.
Уравнения и неравенства:
свободно оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство,
равносильные уравнения и уравнения-следствия, равносильные неравенства;
применять различные методы решения рациональных и дробнорациональных уравнений, применять метод интервалов для решения
неравенств;
свободно оперировать понятиями: многочлен от одной переменной,
многочлен с целыми коэффициентами, корни многочлена, применять
деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и теорему Виета
для решения задач;
свободно оперировать понятиями: система линейных уравнений,
матрица, определитель матрицы 2 × 2 и его геометрический смысл,
использовать свойства определителя 2 × 2 для вычисления его значения,
применять определители для решения системы линейных уравнений,
моделировать реальные ситуации с помощью системы линейных уравнений,
исследовать построенные модели с помощью матриц и определителей,
интерпретировать полученный результат;
использовать свойства действий с корнями для преобразования
выражений;
выполнять преобразования числовых выражений, содержащих степени с
рациональным показателем;
использовать
свойства
логарифмов
для
преобразования
логарифмических выражений;
свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и
логарифмические уравнения, находить их решения с помощью равносильных
переходов или осуществляя проверку корней;
применять основные тригонометрические формулы для преобразования
тригонометрических выражений;
свободно оперировать понятием: тригонометрическое уравнение,
применять необходимые формулы для решения основных типов
тригонометрических уравнений;
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать
построенные модели с использованием аппарата алгебры.
Функции и графики:
свободно оперировать понятиями: функция, способы задания функции,
взаимно обратные функции, композиция функций, график функции,
выполнять элементарные преобразования графиков функций;
свободно оперировать понятиями: область определения и множество
значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства;
свободно оперировать понятиями: чётные и нечётные функции,
периодические функции, промежутки монотонности функции, максимумы и
минимумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции на
промежутке;
свободно оперировать понятиями: степенная функция с натуральным и
целым показателем, график степенной функции с натуральным и целым
показателем, график корня n-ой степени как функции обратной степени с
натуральным показателем;
оперировать понятиями: линейная, квадратичная и дробно-линейная
функции, выполнять элементарное исследование и построение их графиков;
свободно оперировать понятиями: показательная и логарифмическая
функции, их свойства и графики, использовать их графики для решения
уравнений;
свободно оперировать понятиями: тригонометрическая окружность,
определение тригонометрических функций числового аргумента;
использовать графики функций для исследования процессов и
зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной
жизни, выражать формулами зависимости между величинами;
Начала математического анализа:
свободно оперировать понятиями: арифметическая и геометрическая
прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, линейный и
экспоненциальный рост, формула сложных процентов, иметь представление
о константе;
использовать прогрессии для решения реальных задач прикладного
характера;
свободно оперировать понятиями: последовательность, способы задания
последовательностей, монотонные и ограниченные последовательности,
понимать основы зарождения математического анализа как анализа
бесконечно малых;
свободно оперировать понятиями: непрерывные функции, точки
разрыва графика функции, асимптоты графика функции;
свободно оперировать понятием: функция, непрерывная на отрезке,
применять свойства непрерывных функций для решения задач;
свободно оперировать понятиями: первая и вторая производные
функции, касательная к графику функции;
вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции
двух функций, знать производные элементарных функций;
использовать геометрический и физический смысл производной для
решения задач.
Множества и логика:
свободно оперировать понятиями: множество, операции над
множествами;
использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных
процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов;
свободно оперировать понятиями: определение, теорема, уравнениеследствие, свойство математического объекта, доказательство, равносильные
уравнения и неравенства.
К концу обучения в 11 классе обучающийся получит следующие
предметные результаты по отдельным темам рабочей программы учебного
курса «Алгебра и начала математического анализа»:
Числа и вычисления:
свободно оперировать понятиями: натуральное и целое число,
множества натуральных и целых чисел, использовать признаки делимости
целых чисел, НОД и НОК натуральных чисел для решения задач, применять
алгоритм Евклида;
свободно оперировать понятием остатка по модулю, записывать
натуральные числа в различных позиционных системах счисления;
свободно оперировать понятиями: комплексное число и множество
комплексных чисел, представлять комплексные числа в алгебраической и
тригонометрической форме, выполнять арифметические операции с ними и
изображать на координатной плоскости.
Уравнения и неравенства:
свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства, находить их решения с помощью
равносильных переходов;
осуществлять отбор корней при решении тригонометрического
уравнения;
свободно оперировать понятием тригонометрическое неравенство,
применять необходимые формулы для решения основных типов
тригонометрических неравенств;
свободно оперировать понятиями: система и совокупность уравнений и
неравенств, равносильные системы и системы-следствия, находить решения
системы и совокупностей рациональных, иррациональных, показательных и
логарифмических уравнений и неравенств;
решать
рациональные,
иррациональные,
показательные,
логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства,
содержащие модули и параметры;
применять графические методы для решения уравнений и неравенств, а
также задач с параметрами;
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять
выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат.
Функции и графики:
строить графики композиции функций с помощью элементарного
исследования и свойств композиции двух функций;
строить геометрические образы уравнений и неравенств на
координатной плоскости;
свободно оперировать понятиями: графики тригонометрических
функций;
применять функции для моделирования и исследования реальных
процессов.
Начала математического анализа:
использовать производную для исследования функции на монотонность
и экстремумы;
находить наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной на
отрезке;
использовать производную для нахождения наилучшего решения в
прикладных, в том числе социально-экономических, задачах, для
определения скорости и ускорения процесса, заданного формулой или
графиком;
свободно оперировать понятиями: первообразная, определённый
интеграл, находить первообразные элементарных функций и вычислять
интеграл по формуле Ньютона-Лейбница;
находить площади плоских фигур и объёмы тел с помощью интеграла;
иметь представление о математическом моделировании на примере
составления дифференциальных уравнений;
решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и
физического характера, средствами математического анализа.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
Всего
Контрольные
работы
1
Множество действительных чисел.
Многочлены. Рациональные уравнения и
неравенства. Системы линейных
уравнений
24
1
2
Функции и графики. Степенная функция с
целым показателем
12
1
3
Арифметический корень n-ой степени.
Иррациональные уравнения
15
1
4
Показательная функция. Показательные
уравнения
10
1
5
Логарифмическая функция.
Логарифмические уравнения
18
1
6
Тригонометрические выражения и
уравнения
22
1
7
Последовательности и прогрессии
10
1
8
Непрерывные функции. Производная
20
1
9
Повторение, обобщение, систематизация
знаний
5
2
136
10
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
Практические
работы
0
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
11 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Наименование разделов и тем
программы
Всего
Контрольные
работы
1
Исследование функций с помощью
производной
22
1
2
Первообразная и интеграл
12
1
3
Графики тригонометрических функций.
Тригонометрические неравенства
14
1
4
Иррациональные, показательные и
логарифмические неравенства
24
1
5
Комплексные числа
10
1
6
Натуральные и целые числа
10
1
7
Системы рациональных, иррациональных
показательных и логарифмических
уравнений
12
1
8
Задачи с параметрами
16
1
9
Повторение, обобщение, систематизация
знаний
16
2
136
10
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
Практические
работы
0
Электронные
(цифровые)
образовательные
ресурсы
ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Тема урока
Всего
1
Алгебраические выражения
1
2
Линейные уравнения и системы
уравнений
1
3
Числовые неравенства и неравенства
первой степени с одним неизвестным
1
4
Квадратные корни
1
5
Квадратные уравнения
1
6
Квадратные неравенства
1
7
Свойства и графики функций
1
8
Прогрессии и сложные проценты
1
9
Контрольная работа: "Повторение 7-9
класс"
1
10
[[Множество, операции над
множествами и их свойства
1
11
Диаграммы Эйлера-Венна
1
12
Логика
1
13
Логика
1
14
Понятие делимости. Деление суммы и
произведения
1
15
Понятие делимости. Деление суммы и
1
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
произведения
16
Деление с остатком
1
17
Деление с остатком
1
18
Признаки делимости
1
19
Признаки делимости
1
20
Сравнение чисел
1
21
Решение уравнений в целых числах
1
22
Решение уравнений в целых числах
1
23
Урок обобщения и систематизации
знаний
1
24
Контрольная работа: "Делимость чисел"
1
25
Многочлены от одной переменной
1
26
Многочлены от одной переменной
1
27
Многочлен P(x) и его корень. Теорема
Безу
1
28
Алгебраическое уравнение. Следствия из
теоремы Безу
1
29
Решение алгебраических уравнений
разложением на множители
1
30
Решение алгебраических уравнений
разложением на множители
1
31
Решение алгебраических уравнений
разложением на множители
1
32
Делимость двучленов. Симметричные
многочлены. Многочлены от нескольких
переменных
1
33
Делимость двучленов. Симметричные
1
1
многочлены. Многочлены от нескольких
переменных
34
Формулы сокращенного умножения для
старших степеней. Бином Ньютона
1
35
Формулы сокращенного умножения для
старших степеней. Бином Ньютона
1
36
Системы уравнений
1
37
Системы уравнений
1
38
Контрольная работа: "Многочлены"
1
39
Действительные числа
1
40
Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия
1
41
Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
1
42
Арифметический корень натуральной
степени и его свойства
1
43
Арифметический корень натуральной
степени и его свойства
1
44
Арифметический корень натуральной
степени и его свойства
1
45
Степень с рациональным и
действительным показателями и её
свойства
1
46
Степень с рациональным и
действительным показателями и её
свойства
1
47
Степень с рациональным и
действительным показателями и её
1
1
свойства
48
Преобразования числовых выражений,
содержащих степени и корни
1
49
Преобразования числовых выражений,
содержащих степени и корни
1
50
Контрольная работа: "Степень с
действительным показателем"
1
51
Степенная функция. Её свойства и
график
1
52
Степенная функция. Её свойства и
график
1
53
Степенная функция. Её свойства и
график
1
54
Взаимно обратные функции. Сложные
функции
1
55
Взаимно обратные функции. Сложные
функции
1
56
Дробно-линейная функция
1
57
Равносильные уравнения и неравенства
1
58
Равносильные уравнения и неравенства
1
59
Равносильные уравнения и неравенства
1
60
Иррациональные уравнения. Основные
методы решения иррациональных
уравнений
1
61
Иррациональные уравнения. Основные
методы решения иррациональных
уравнений
1
1
62
Иррациональные уравнения. Основные
методы решения иррациональных
уравнений
1
63
Иррациональные неравенства
1
64
Решение иррациональных уравнений и
неравенств
1
65
Контрольная работа: "Степенная
функция"
1
66
Показательная функция, её свойства и
график
1
67
Использование графика функции для
решения уравнений
1
68
Показательные уравнения. Основные
методы решения показательных
уравнений
1
69
Показательные уравнения. Основные
методы решения показательных
уравнений
1
70
Показательные уравнения. Основные
методы решения показательных
уравнений
1
71
Показательные неравенства
1
72
Показательные неравенства
1
73
Системы показательных уравнений и
неравенств
1
74
Системы показательных уравнений и
неравенств
1
75
Контрольная работа: "Показательная
1
1
1
функция. Показательные уравнения"
76
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
77
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
78
Логарифм числа. Свойства логарифма
1
79
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
80
Десятичные и натуральные логарифмы
1
81
Десятичные и натуральные логарифмы
1
82
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
83
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
84
Логарифмическая функция, её свойства
и график
1
85
Логарифмическая функция, её свойства
и график
1
86
Логарифмические уравнения. Основные
методы решения логарифмических
уравнений
1
87
Логарифмические уравнения. Основные
методы решения логарифмических
уравнений
1
88
Логарифмические уравнения. Основные
методы решения логарифмических
уравнений
1
89
Логарифмические неравенства.
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
90
Логарифмические неравенства.
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
91
Логарифмические неравенства.
Основные методы решения
логарифмических неравенств
1
92
Решение логарифмических уравнений и
неравенств
1
93
Контрольная работа: "Логарифмическая
функция. Логарифмические уравнения"
1
94
Радианная мера угла
1
95
Поворот точки вокруг начала координат
1
96
Поворот точки вокруг начала координат
1
97
Синус, косинус, тангенс и котангенс
числового аргумента
1
98
Синус, косинус, тангенс и котангенс
числового аргумента
1
99
Знаки синуса, косинуса и тангенса
1
100
Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла
1
101
Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла
1
102
Основные тригонометрические
тождества
1
103
Основные тригонометрические
тождества
1
104
Синус, косинус, тангенс углов а и -а
1
1
105
Формулы сложения
1
106
Формулы сложения
1
107
Формулы сложения
1
108
Синус, косинус, тангенс двойного угла.
1
109
Синус, косинус, тангенс половинного
угла.
1
110
Формулы приведения
1
111
Формулы приведения
1
112
Сумма и разность синусов. Сумма и
разность косинусов.
1
113
Сумма и разность синусов. Сумма и
разность косинусов.
1
114
Произведение синусов и косинусов
1
115
Преобразование тригонометрических
выражений
1
116
Контрольная работа:
"Тригонометрические формулы"
1
117
Уравнение cosx=a
1
118
Уравнение cosx=a
1
119
Уравнение sinx=a
1
120
Уравнение sinx=a
1
121
Уравнение sinx=a
1
122
Уравнение tgx=a
1
123
Уравнения, сводящиеся к
алгебраическим. Однородные уравнения
1
124
Уравнения, сводящиеся к
алгебраическим. Однородные уравнения
1
1
125
Уравнения, сводящиеся к
алгебраическим. Однородные уравнения
1
126
Методы замены неизвестного и
разложения на множители
1
127
Методы замены неизвестного и
разложения на множители
1
128
Системы тригонометрических уравнений
1
129
Системы тригонометрических уравнений
1
130
Тригонометрические неравенства
1
131
Решение тригонометрических уравнений
1
132
Контрольная работа:
"Тригонометрические выражения и
тригонометрические уравнения"
1
133
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Уравнения"
1
134
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Функции"
1
135
Итоговая контрольная работа
1
1
136
Итоговая контрольная работа
1
1
136
10
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
1
0
11 КЛАСС
Количество часов
№
п/п
Тема урока
Всего
1
Область определения и множество
значений тригонометрических функций
1
2
Область определения и множество
значений тригонометрических функций
1
3
Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций
1
4
Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций
1
5
Четность, нечетность, периодичность
тригонометрических функций
1
6
Свойства функции y=cosx и её график
1
7
Свойства функции y=cosx и её график
1
8
Свойства функции y=cosx и её график
1
9
Свойства функции y=sinx и её график
1
10
Свойства функции y=sinx и её график
1
11
Свойства функции y=sinx и её график
1
12
Свойства функции y=tgx и её график
1
13
Свойства функции y=tgx и её график
1
14
Обратные тригонометрические функции
1
15
Обратные тригонометрические функции
1
16
Обратные тригонометрические функции
1
Контрольные
работы
Практические
работы
Дата
изучения
Электронные
цифровые
образовательные
ресурсы
17
Решение упражнений по теме
"Тригонометрические функции"
1
18
Решение упражнений по теме
"Тригонометрические функции"
1
19
Контрольная работа:
"Тригонометрические функции"
1
20
Предел последовательности
1
21
Предел последовательности
1
22
Предел последовательности
1
23
Предел функции
1
24
Предел функции
1
25
Непрерывность функции
1
26
Определение производной
1
27
Определение производной
1
28
Правила дифференцирования
1
29
Правила дифференцирования
1
30
Правила дифференцирования
1
31
Производная степенной функции
1
32
Производная степенной функции
1
33
Производные элементарных функций
1
34
Производные элементарных функций
1
35
Производные элементарных функций
1
36
Геометрический смысл производной
1
37
Геометрический смысл производной
1
38
Геометрический смысл производной
1
39
Решение упражнений по теме
1
1
"Производная и её геометрический
смысл"
40
Решение упражнений по теме
"Производная и её геометрический
смысл"
1
41
Контрольная работа: "Производная и её
геометрический смысл"
1
42
Возрастание и убывание функции
1
43
Возрастание и убывание функции
1
44
Экстремумы функции
1
45
Применение производной к
исследованию функций на монотонность
и экстремумы
1
46
Применение производной к
исследованию функций на монотонность
и экстремумы
1
47
Наибольшее и наименьшее значение
функции
1
48
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
49
Нахождение наибольшего и
наименьшего значения непрерывной
функции на отрезке
1
50
Производная второго порядка,
выпуклость и точки перегиба
1
51
Производная второго порядка,
выпуклость и точки перегиба
1
1
52
Построение графиков функций
1
53
Построение графиков функций
1
54
Построение графиков функций
1
55
Построение графиков функций
1
56
Применение производной для
нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах
1
57
Применение производной для
нахождения наилучшего решения в
прикладных задачах
1
58
Контрольная работа: "Исследование
функций с помощью производной"
1
59
Первообразная
1
60
Первообразная
1
61
Первообразные элементарных функций.
Правила нахождения первообразных
1
62
Первообразные элементарных функций.
Правила нахождения первообразных
1
63
Площадь криволинейной трапеции.
Интеграл и его вычисление
1
64
Площадь криволинейной трапеции.
Интеграл и его вычисление
1
65
Площадь криволинейной трапеции.
Интеграл и его вычисление
1
66
Интеграл. Геометрический смысл
интеграла
1
67
Применение интеграла для нахождения
1
1
площадей плоских фигур
68
Вычисление площадей фигур с помощью
интеграла
1
69
Примеры решений дифференциальных
уравнений
1
70
Применение интегралов для решения
физических задач
1
71
Применение интеграла для нахождения
объёмов геометрических тел
1
72
Вычисление определённого интеграла по
формуле Ньютона-Лейбница
1
73
Контрольная работа: "Первообразная и
интеграл"
1
74
Математическая индукция
1
75
Математическая индукция
1
76
Правило произведения. Размещения с
повторениями
1
77
Правило произведения. Размещения с
повторениями
1
78
Перестановки
1
79
Перестановки
1
80
Размещения без повторений
1
81
Сочетания без повторений и бином
Ньютона
1
82
Сочетания без повторений и бином
Ньютона
1
83
Сочетания без повторений и бином
1
1
Ньютона
84
Основные методы решения систем и
совокупностей рациональных уравнений
1
85
Сочетания с повторениями
1
86
Решение задач
1
87
Контрольная работа: "Комбинаторика"
1
88
Вероятность события
1
89
Вероятность события
1
90
Сложение вероятностей
1
91
Сложение вероятностей
1
92
Условная вероятности. Независимость
событий. Вероятность произведения
независимых событий
1
93
Формула Бернулли
1
94
Решение задач
1
95
Контрольная работа: "Элементы теории
вероятностей"
1
96
Комплексные числа. Сложение и
умножение комплексных чисел
1
97
Комплексные числа. Сложение и
умножение комплексных чисел
1
98
Комплексно сопряженные числа.
Модуль комплексного числа. Операции
вычитания и деления
1
99
Изображение комплексных чисел на
координатной плоскости
1
100
Изображение комплексных чисел на
1
1
1
координатной плоскости
101
Тригонометрическая форма
комплексного числа
1
102
Формула Муавра. Корни n-ой степени из
комплексного числа
1
103
Формула Муавра. Корни n-ой степени из
комплексного числа
1
104
Квадратное уравнение с комплексными
неизвестным
1
105
Извлечение корня из комплексного
числа. Алгебраические уравнения
1
106
Применение комплексных чисел для
решения физических и геометрических
задач
1
107
Контрольная работа: "Комплексные
числа"
1
108
Линейные уравнения и неравенства с
двумя переменными
1
109
Линейные уравнения и неравенства с
двумя переменными
1
110
Линейные уравнения и неравенства с
двумя переменными
1
111
Нелинейные уравнения и неравенства с
двумя переменными
1
112
Нелинейные уравнения и неравенства с
двумя переменными
1
113
Нелинейные уравнения и неравенства с
двумя переменными
1
1
114
Уравнения и неравенства с двумя
переменными, содержащие параметры
1
115
Уравнения и неравенства с двумя
переменными, содержащие параметры
1
116
Решение задач
1
117
Контрольная работа: "Уравнения и
неравенства с двумя переменными"
1
118
Тригонометрические уравнения с
параметрами
1
119
Тригонометрические неравенства с
параметрами
1
120
Тригонометрические системы с
параметрами
1
121
Построение и исследование
математических моделей реальных
ситуаций с помощью уравнений с
параметрами
1
122
Построение и исследование
математических моделей реальных
ситуаций с помощью систем уравнений с
параметрами
1
123
Построение и исследование
математических моделей реальных
ситуаций с помощью систем уравнений с
параметрами
1
124
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Уравнения. Системы
уравнений"
1
1
125
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Неравенства"
1
126
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Неравенства"
1
127
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Производная и её применение"
1
128
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Производная и её применение"
1
129
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Производная и её применение"
1
130
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Интеграл и его применение"
1
131
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Функции"
1
132
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Функции"
1
133
Повторение, обобщение, систематизация
знаний: "Функции"
1
134
Итоговая контрольная работа
1
1
135
Итоговая контрольная работа
1
1
136
Повторение, обобщение, систематизация
знаний
1
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
136
10
0
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
• Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс/ Колягин Ю.М.,
Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и другие, Акционерное общество
«Издательство «Просвещение»
• Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс/ Колягин Ю.М.,
Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и другие, Акционерное общество
«Издательство «Просвещение»
МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ
ИНТЕРНЕТ
Моя школа - система оплаты питания и контроль доступа 
Комитет по образованию Санкт-Петербурга 
